角 運動量 演算 子 交換 関係 - 【量子力学】交換関係

子 交換 運動量 関係 角 演算 【量子力学】角運動量演算子成分の交換関係を導くときのエッセンス

子 交換 運動量 関係 角 演算 【量子力学】交換関係

子 交換 運動量 関係 角 演算 1.3 角運動量演算子の交換関係

子 交換 運動量 関係 角 演算 角運動量の行列表現

子 交換 運動量 関係 角 演算 角運動量の行列表現

子 交換 運動量 関係 角 演算 量子力学の演算子の交換について

【量子力学】角運動量演算子成分の交換関係を導くときのエッセンス

子 交換 運動量 関係 角 演算 1.3 角運動量演算子の交換関係

子 交換 運動量 関係 角 演算 角 運動量

【量子力学】交換関係

子 交換 運動量 関係 角 演算 角運動量演算子の交換関係 ~まとめて計算編~

子 交換 運動量 関係 角 演算 角運動量演算子の交換関係 ~まとめて計算編~

【量子力学】交換関係

角運動量演算子の交換関係の公式の導出

偶数次の正方行列• すなわち,角運動量の2乗と角運動量の x, y, z 成分の中のどれか1つは同時に決定できる。

  • 考えてみるのも面白いだろう。

  • Revised: 2007-07-02. 運動量の定義もまとめて1つの式で書けます: の成分の交換関係以上を踏まえて、の成分の交換関係を計算してみましょう。

量子力学の演算子の交換について

それぞれのエルミート共役を取って掛け合わせてやればいいのだ. 恐るるに足らず。

  • はい、昔はわけがわかりませんでしたが、今ではただの算数のように鉛筆で計算できるようになりました。

  • 3 角運動量演算子の交換関係 ここで,角運動量の成分同士の交換関係を調べておく。

【量子力学】角運動量演算子成分の交換関係を導くときのエッセンス

スピンも含めた統一的な角運動量の解釈には角運動量演算子の基本的要請(公理)を次の交換関係を満たすエルミート演算子: J k によって定義する方法が簡明です。

  • 3 角運動量演算子の交換関係 ここで,角運動量の成分同士の交換関係を調べておく。

  • 人間はある確定値を得たときこそが「定まった状態」だと認識しているので ,複数の状態を別々に分けて考えてしまう. どこがエッセンスなのでしょう。

角運動量の行列表現

まぁ、別にそれでも問題ないんですが、この記事ではベクトルの各成分を添字で区別して、一般的に成分の交換関係を計算してみます。

  • そう言えば、数年前に高校数学から行列がなくなって、非可換な代数を大学に入ってからしかしなくなったようなので、なるべく丁寧に(助長に?)途中式を書いていこうと思います。

  • 結果を示せば , となり ,ほとんどの成分は 0 となっている. 不思議なのは ,測定するたびに ,測定しようとした物理量をどれかの値を確定するように ,状態の方が変化してくれるという部分だ. 交換子の値が 0 であったなら ,同時に 2 つの演算子の固有関数となる関数が存在するということだが ,この場合は でもない限りは , のそれぞれの方向からの観測値は同時には決められないということであり ,それはすでに前回話した通りだ. 重ね合わせ状態 この結果から何が言えるか ,という点が重要だ. これらのことは、分厚い教科書だけでなく、ブルーバックスをはじめ小型の科学読みものなどを眺めたりしていると、ことあるごとに文章や簡単な数式として登場することも多いので、片っ端から読む気概があれば、時間の経過とともに自然に身につきます。

角運動量の行列表現

その結果、以下のようになります。

  • 交換関係を求める事は以前に「」のところでもやったが ,忘れているかもしれないので ,一つだけ丁寧に計算例を示しておこう. その意味でこのページの話はスピンを軌道角運動量に統一する理論だったわけである。

  • 長さは必ず0以上だから、その条件から何か言えるかもしれないのだ。

1.3 角運動量演算子の交換関係

交換関係を計算するときに使うと便利な公式2つの に対して、交換子 commutator は以下のように定義されます: この定義をもとに、次の公式を導いていきます:• が載ってたのでガリガリと導いてみることにします。

  • 交換関係 ここまで描いてきた角運動量のイメージを補うために ,数学の助けを借りることにしよう. は先ほどとは逆に固有値を 1 つずつ下げる働きを持っているというので「 下降演算子」と呼ばれる. 例としてシュテルン・ゲルラッハの実験を考えてみよう。

  • 行列への変換 微分演算子と行列が論理的には等価だという話は第 2 部で出てきた. 前回は1つ目の式のさらにいくつか場合のみしか書けてませんでした。

量子力学/角運動量の固有値

もし 軸に沿って測定して 0 という測定値を得た直後に 軸に沿って測定すると , を得る確率と を得る確率が半々であって ,0 という値は決して得られないということである. つまり「無限次元の存在」の断面図を見ているようなもので ,今はその断面は 3 次元であり , が変化しない限りは状態ベクトルもその断面上に乗っかって存在すると考えているわけだ. 新しく定義した演算子と との交換関係を調べてやると , という式が成り立っている. よってこの式から、交換関係がゼロでないなら同時測定が不可能であることが言えることになります。

  • したがって x pz y pz xとpzを交換) = pz x y pz xとyを交換) = pz y x pz pzとyを交換) = y py x pz となるので、最初の赤い項は0です。

  • 則則とは、関数の積をする公式(のようなもの)です。

角運動量の行列表現

の2乗と成分の交換関係同様にして、の2乗 と成分の交換関係も計算しましょう。

  • まず , という具合に 2 つの新しい演算子を定義してやる. 位置、運動量の交換関係を使っていきなりの成分間の交換関係を導いてもまぁいいんですが、結構計算がゴチャゴチャするので、まず交換関係を計算するときに使うと便利な公式をいくつか導いてから、それらを使っての交換関係を計算することにしましょう。

  • 第2引数が和となっている場合も同様にして導出できますが、交換子の反可換性を使って導いてしましょう。




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